Ποιά η διαφορά της εορτής της Πεντηκοστής με την εορτή του Αγίου Πνεύματος;

Ουσιαστικά δεν υπάρχει καμία διαφορά.

Η εορτή της Πεντηκοστής είναι εορτή της Αγίας Τριάδος, αφού με την κάθοδο του Αγίου Πνεύματος μαθαίνουμε ότι ο Θεός είναι Τριαδικός. Η κάθοδος του Αγίου Πνεύματος έγινε κατά την ημέρα της Κυριακής. Την ήμερα αυτή,  ήλθε το Άγιο Πνεύμα στους Μαθητές του Χριστού. Ο ιερός υμνογράφος αποκαλεί την Πεντηκοστή τελευταία εορτή από πλευράς αναπλάσεως και ανακαινίσεως του ανθρώπου: "Την μεθέορτον πιστοί και τελευταίαν εορτήν εορτάσωμεν φαιδρώς, αύτη εστί Πεντηκοστή, επαγγελίας συμπλήρωσις και προθεσμία".
Οι άγιοι Πατέρες μας λοιπόν, πού έβαλαν σε άριστη σειρά και τάξη όλα τα θέματα της πίστεως μας, για να δώσουν τιμή στο Άγιο Πνεύμα, όρισαν να το εορτάζουμε και κατά την Πεντηκοστή, αλλά και ξεχωριστά την επόμενη ημερα την Δευτέρα.
Βέβαια,  όπως διδαχθήκαμε και πιστεύουμε, κοινή είναι η ενέργεια του Τριαδικού Θεού και ποτέ δεν μπορεί να χωρισθή και να απομονωθή ένα Πρόσωπο από τα άλλα Πρόσωπα της Αγίας Τριάδος. Το Άγιον Πνεύμα είναι ομοούσιο με τον Υιό και τον Πατέρα, γιατί και τα τρία Πρόσωπα της Αγίας Τριάδος έχουν κοινή ουσία ή φύση, και κοινή ενέργεια.

Το υπόμνημα του Πεντηκοσταρίου της Δευτέρας του Αγίου Πνέυματος είναι χαρακτηριστικό:

Τῇ αὐτῇ ἡμέρᾳ, Δευτέρᾳ τῆς Πεντηκοστῆς, αὐτὸ τὸ πανάγιον, καὶ ζωοποιόν, καὶ παντοδύναμον ἑορτάζομεν Πνεῦμα, τὸν ἕνα τῆς Τριάδος Θεόν, τὸ Ὁμότιμον, καὶ Ὁμοούσιον, καὶ Ὁμόδοξον τῷ Πατρὶ καὶ τῷ Υἱῷ.
Στίχοι
Πᾶσα πνοή, δόξαζε Πνεῦμα Κυρίου,
Δι' οὗ πονηρῶν πνευμάτων φροῦδα θράση.

 Τῇ ἐπιφοιτήσει τοῦ ἁγίου Πνεύματος, πρεσβείαις τῶν Ἀποστόλων σου, Χριστὲ ὁ Θεός, ἐλέησον ἡμᾶς. Ἀμήν. 

  Και της Κυριακής της Πεντηκοστής αναφέρει:

Τῇ αὐτῇ ἡμέρᾳ, Κυριακῇ ὀγδόῃ ἀπὸ τοῦ Πάσχα, τὴν ἁγίαν Πεντηκοστὴν ἑορτάζομεν.
Στίχοι
Πνοῇ βιαίᾳ γλωσσοπυρσεύτως νέμει,
Χριστὸς τὸ θεῖον Πνεῦμα τοῖς Ἀποστόλοις.
Ἐκκέχυται μεγάλῳ ἑνὶ ἤματι Πνεῦμ' ἁλιεῦσι.
Ταῖς τῶν ἁγίων Ἀποστόλων πρεσβείαις, Χριστὲ ὁ Θεὸς ἡμῶν, ἐλέησον ἡμᾶς. Ἀμήν.

Συμπερασματικά:
Οι άγιοι Πατέρες μας πού έβαλαν σε άριστη σειρά και τάξη όλα τα θέματα της πίστεως μας, για να δώσουν τιμή στο Άγιο Πνεύμα, όρισαν να το εορτάζουμε και κατά την Πεντηκοστή, αλλά και ξεχωριστά την επόμενη ημέρα. Εμείς, πρέπει να γνωρίζουμε ότι την ήμερα αυτή, όταν εορταζόταν η Πεντηκοστή των Εβραίων, ήλθε το Άγιο Πνεύμα στους Μαθητές του Χριστού. Επειδή, λοιπόν, οι Άγιοι Πατέρες θεώρησαν καλό να ξεχωρίσουν τις γιορτές για να τιμήσουν με τον τρόπο αυτό το μεγαλείο του Παναγίου και Ζωοποιού Πνεύματος, γι’ αυτό εορτάζουμε το Πανάγιο Πνεύμα, πού είναι μία υπόσταση της Αγίας Τριάδος.


πηγές: Συναξάριον Πεντηκοσταρίου, "Δεσποτικές Εορτές" Μητροπολίτου Ναυπάκτου κκ Ιεροθέου, "τί γιορτάζουμε από το Τριώδιο έως την Πεντηκοστή, ιερομ. Ιερωνύμου Δελημάρη

http://orthodox-answers.blogspot.com/2010/05/blog-post.html